| 【発明の名称】 |
項目応答理論におけるパラメータ推定方法 |
| 【発明者】 |
【氏名】植野 真臣
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| 【要約】 |
【課題】不安定な数値的手法を用いずに項目応答理論のパラメータ推定を行える画期的な方法を提供する。
【解決手段】項目応答理論のモデルは、反応パターンをｕｊ（＝１：項目ｊに対して正答，＝０：項目ｊに対して誤答）としたときに、学習者ｉの能力パラメータθｉとし、項目ｊの特性パラメータａｊ，ｂｊを有する式Ｐ（ｕｊ＝１｜θｉ）＝１／（１＋ｅｘｐ（−ａｊθｉ＋ｂｊ））により示されるものとし、ｍ個の項目への反応データを得た際、パラメータａｊを反応パターン出現頻度の条件付確率から計算した対数オッズの標準偏差により推定する。 |
【特許請求の範囲】
【請求項１】
項目応答理論における２−パラメータ・ロジスティック・モデルのパラメータ推定方法であって、項目応答理論のモデルは、反応パターンを
【数１】
としたときに、学習者ｉの能力パラメータθｉとし、項目ｊの特性パラメータａｊ，ｂｊを有する下記式
【数２】
により示されるものとし、ｍ個の項目への反応データを得た際、この項目応答理論の少なくともパラメータａｊを下記の方法により推定することを特徴とする項目応答理論におけるパラメータ推定方法。
記
データからｕｊ＝１を所与としてその他の項目へのすべての反応パターンのｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍの出現頻度を数え上げ、それより、ｕｊ＝１を所与とした反応パターンｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍの条件付確率ｐ（ｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍ｜ｕｊ，＝１）を求め、また、データからｕｊ＝０を所与としてその他の項目へのすべての反応パターンｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍの出現頻度を数え上げ、それより、ｕｊ＝０を所与とした反応パターンｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍの条件付確率ｐ（ｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍ｜ｕｊ，＝０）を求め、対数オッズを下記式
【数３】
により計算し、同様の方法ですべての反応パターンｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍについて前記対数オッズを計算し、その標準偏差を計算すると共に、この標準偏差の数値を項目応答理論のパラメータａｊとし、σ（Ａ）をＡの標準偏差を返す関数とする下記式
【数４】
により前記パラメータａｊを推定する方法。
【請求項２】
項目応答理論における２−パラメータ・ロジスティック・モデルのパラメータ推定方法であって、項目応答理論のモデルは、反応パターンを
【数５】
としたときに、学習者ｉの能力パラメータθｉとし、項目ｊの特性パラメータａｊ，ｂｊを有する下記の式
【数６】
により示されるものとし、ｍ個の項目への反応データを得た際、この項目応答理論のパラメータａｊ，ｂｊを下記の方法（１）（２）を任意の順に行うことにより推定することを特徴とする項目応答理論におけるパラメータ推定方法。
記
方法（１）：データからｕｊ＝１を所与としてその他の項目へのすべての反応パターンのｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍの出現頻度を数え上げ、それより、ｕｊ＝１を所与とした反応パターンｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍの条件付確率ｐ（ｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍ｜ｕｊ，＝１）を求め、また、データからｕｊ＝０を所与としてその他の項目へのすべての反応パターンｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍの出現頻度を数え上げ、それより、ｕｊ＝０を所与とした反応パターンｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍの条件付確率ｐ（ｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍ｜ｕｊ，＝０）を求め、対数オッズを下記式
【数７】
により計算し、同様の方法ですべての反応パターンｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍについて前記対数オッズを計算し、その標準偏差を計算すると共に、この標準偏差の数値を項目応答理論のパラメータａｊとし、σ（Ａ）をＡの標準偏差を返す関数とする下記式
【数８】
により前記パラメータａｊを推定する方法。
方法（２）：項目ｊの正答確率ｐ（ｕｊ＝１）を反応データより求めて、対数確率比を下記式
【数９】
により計算し、この対数比の数値を項目応答理論のパラメータｂｊとし、下記式
【数１０】
により前記パラメータｂｊを推定する方法。
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【発明の詳細な説明】【技術分野】
【０００１】
本発明は、項目応答理論における２−パラメータ・ロジスティック・モデルのパラメータ推定方法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
従来、項目応答理論におけるパラメータ推定は、以下の対数尤度を最大化することによって求められてきた。
【０００３】
具体的には、ｎ人のｍ項目へのデータＸ＝{Ｘｉｊ}，（ｉ＝１，…，ｎ，ｊ＝１，…，ｎ）
【数１１】
について、以下の対数尤度ｆ
【数１２】
を最大にするパラメータａｊ，ｂｊ，θｉを求めればよい。また、周辺対数尤度、ベイズ事後分布を最大化する手法もあるが、これらの手法では、一般にニュートン法を用いた数値的計算法によって求められる。
【０００４】
例えば、これらの詳細については、以下の文献がある。
（１）芝祐順，項目反応理論 基礎と応用，東京大学出版会，東京，１９９１年
（２）豊田秀樹，項目反応理論［入門編］−テストの測定と科学−，株式会社朝倉書店，東京，２００２年
（３）豊田秀樹，項目反応理論［理論編］−テストの数理−，株式会社朝倉書店，東京，２００５年
しかし、それらの文献でも指摘されているが、ニュートン法を用いた項目応答理論のパラメータ推定手法では、以下のような欠点が挙げられる。
【０００５】
１．推定精度が初期値の設定に大きく依存し、一般にパラメータ推定が安定しない。
２．すべての学習者が正解、または誤答である項目については、パラメータ推定が行えない。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
本発明は、項目応答理論において解析的にパラメータ推定を行うことにより上記問題点を全て解決し得る、画期的な項目応答理論のパラメータ推定方法を提案するものである。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
添付図面を参照して本発明の要旨を説明する。
【０００８】
項目応答理論における２−パラメータ・ロジスティック・モデルのパラメータ推定方法であって、項目応答理論のモデルは、反応パターンを
【数１３】
としたときに、学習者ｉの能力パラメータθｉとし、項目ｊの特性パラメータａｊ，ｂｊを有する下記式
【数１４】
により示されるものとし、ｍ個の項目への反応データを得た際、この項目応答理論の少なくともパラメータａｊを下記の方法により推定することを特徴とする項目応答理論におけるパラメータ推定方法に係るものである。
記
データからｕｊ＝１を所与としてその他の項目へのすべての反応パターンのｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍの出現頻度を数え上げ、それより、ｕｊ＝１を所与とした反応パターンｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍの条件付確率ｐ（ｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍ｜ｕｊ，＝１）を求め、また、データからｕｊ＝０を所与としてその他の項目へのすべての反応パターンｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍの出現頻度を数え上げ、それより、ｕｊ＝０を所与とした反応パターンｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍの条件付確率ｐ（ｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍ｜ｕｊ，＝０）を求め、対数オッズを下記式
【数１５】
により計算し、同様の方法ですべての反応パターンｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍについて前記対数オッズを計算し、その標準偏差を計算すると共に、この標準偏差の数値を項目応答理論のパラメータａｊとし、σ（Ａ）をＡの標準偏差を返す関数とする下記式
【数１６】
により前記パラメータａｊを推定する方法。
【０００９】
また、項目応答理論における２−パラメータ・ロジスティック・モデルのパラメータ推定方法であって、項目応答理論のモデルは、反応パターンを
【数１７】
としたときに、学習者ｉの能力パラメータθｉとし、項目ｊの特性パラメータａｊ，ｂｊを有する下記の式
【数１８】
により示されるものとし、ｍ個の項目への反応データを得た際、この項目応答理論のパラメータａｊ，ｂｊを下記の方法（１）（２）を任意の順に行うことにより推定することを特徴とする項目応答理論におけるパラメータ推定方法に係るものである。
記
方法（１）：データからｕｊ＝１を所与としてその他の項目へのすべての反応パターンのｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍの出現頻度を数え上げ、それより、ｕｊ＝１を所与とした反応パターンｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍの条件付確率ｐ（ｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍ｜ｕｊ，＝１）を求め、また、データからｕｊ＝０を所与としてその他の項目へのすべての反応パターンｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍの出現頻度を数え上げ、それより、ｕｊ＝０を所与とした反応パターンｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍの条件付確率ｐ（ｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍ｜ｕｊ，＝０）を求め、対数オッズを下記式
【数１９】
により計算し、同様の方法ですべての反応パターンｕ１，…，ｕｊ−１，ｕｊ＋１，…ｕｍについて前記対数オッズを計算し、その標準偏差を計算すると共に、この標準偏差の数値を項目応答理論のパラメータａｊとし、σ（Ａ）をＡの標準偏差を返す関数とする下記式
【数２０】
により前記パラメータａｊを推定する方法。
方法（２）：項目ｊの正答確率ｐ（ｕｊ＝１）を反応データより求めて、対数確率比を下記式
【数２１】
により計算し、この対数比の数値を項目応答理論のパラメータｂｊとし、下記式
【数２２】
により前記パラメータｂｊを推定する方法。
【発明の効果】
【００１０】
本発明は上述のようにするから、従来のパラメータ推定方法では不可能であった以下のような利点を有する。
【００１１】
１．パラメータが安定して求められる。
２．すべての学習者が正解、または誤答である項目についてもパラメータを推定することができる。
【００１２】
従って、例えばこれまで市販されてきたパラメータ推定ソフトは、何れも従来例に記載したような問題点を有していたところを、本発明のパラメータ推定方法を用いたパラメータ推定ソフトウェアによればこのような問題は生ぜず、安定した推定値を得られるなど、実用性に秀れた画期的な項目応答理論におけるパラメータ推定方法である。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１３】
従来の手法では、一般的なパラメータ推定手法であるニュートンラフソン法が用いられており、この手法は近似手法である。
【００１４】
このニュートンラフソン法そのものの持つ欠点として、（１）初期値の設定に対して解が不安定である，（２）項目応答理論における２−パラメータ・ロジスティック・モデルでは、学習者の反応がすべての項目に対して正解、もしくは誤答であるときにパラメータが推定できない，（３）ニュートンラフソン法では、繰り返し計算が必要であり、また、局所解に陥る確率も高いこと、が挙げられる。これらは、項目応答理論が持っている本来の性質ではない。
【００１５】
本発明では、二値同時確率分布を数学的に近似なく２−パラメータ・ロジスティック・モデルを導き、パラメータ推定手法を導出している。すなわち、従来の手法が近似的であり、ニュートンラフソン法に依存していたのに対し、本発明では、数学的に本モデルのパラメータを直接的に導いている。
【００１６】
そのため本発明によれば、ニュートンラフソン法による近似的パラメータ推移のように面倒な繰り返し計算は不要で、しかも局所解に陥ることもない。すなわち、前述の（１），（２），（３）の問題は、モデル本来の持つものではなく、ニュートンラフソン法による近似的パラメータ推移のもつ欠点であるから、当然、このような近似法を行わない本発明の手法においては、上記（１），（２），（３）のような問題は生じ得ず安定的にパラメータ推移が行えることとなる。
【実施例】
【００１７】
直接的な利用法としては、２−パラメータ・ロジスティック・モデルを用いて、テストデータから各項目の特性パラメータａｊ，ｂｊを計算することにより、項目の識別力、難易度を計算することができ、項目評価に用いることができる。
【００１８】
また、２−パラメータ・ロジスティック・モデルは、大型のテスト項目のデータベースを構築する場合に、あらかじめデータより推定された項目ｊの特性パラメータａｊ，ｂｊを属性として用いることができる。このデータベースを用いて、テスト構成を行う際に、テスト情報量を計算しながら、予測効率の良いテスト構成を行うことができたり、また、学習者の能力を逐次的に推定しながら情報量を最大にする項目を逐次選択しながら出題する適応型テストに利用できる。
【００１９】
これらの特性パラメータａｊ，ｂｊをデータより推定するプログラムが必要であるが、安定した解が得られるものが望ましい。本発明でのアルゴリズムを搭載することにより、安定した解の得られるパラメータ推定プログラムを実現することができる。
【００２０】
以下に計算例を示す。
【００２１】
今、３項目のテストを考え、２０人の下記表１のデータが得られたとする。ただし、正答を１、誤答を０とする。
【００２２】
【表１】
【００２３】
３項目への反応パターンは全部で８パターンあるので、表１のデータより、各反応パターンごとの頻度を数え上げ、下記表２に示す。
【００２４】
【表２】
【００２５】
上記表１及び表２より、項目１についての特性パラメータａｊ，ｂｊの推定例を示す。
【００２６】
まず、ｂｊについては、下記式
【数２３】
によって、求められる。表１より、項目１では、２０人中９人が正答しているので、
【数２４】
が求められる。
【００２７】
ａｊでは、すべてのパターンについて
【数２５】
を計算して、その標準偏差を計算する。表２より、各パターンの値は下記式の通り
【数２６】
【数２７】
【数２８】
【数２９】
であるので、これら４つの値の標準偏差は、０．６６７９２１であり、この値がａｊの値となる。これらを残る２項目にも同じ手続きを行うことにより、特性パラメータａｊ，ｂｊを求めることができる。
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| 【出願人】 |
【識別番号】３０４０２１２８８
【氏名又は名称】国立大学法人長岡技術科学大学
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| 【出願日】 |
平成１８年４月５日（２００６．４．５） |
| 【代理人】 |
【識別番号】１０００９１３７３
【弁理士】
【氏名又は名称】吉井 剛
【識別番号】１０００９７０６５
【弁理士】
【氏名又は名称】吉井 雅栄
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| 【公開番号】 |
特開２００７−２７９３０６（Ｐ２００７−２７９３０６Ａ） |
| 【公開日】 |
平成１９年１０月２５日（２００７．１０．２５） |
| 【出願番号】 |
特願２００６−１０４２９６（Ｐ２００６−１０４２９６） |
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