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【発明の名称】 |
光線追跡方法 |
| 【発明者】 |
【氏名】橋本 純夫 |
【課題】内部応力分布による屈折率変動が僅かな場合、光軸方向と媒質の境界面の法線方向が異なる場合でも、精度良く光線の軌跡を求める方法を提供する。
【解決手段】ステップＳ１１で、波面法線ベクトルを仮定する。そして、ステップＳ１２で、仮定した波面ベクトル方向の屈折率ｎを、仮定した波面法線ベクトルの関数として表すと共に、屈折率の、波面法線ベクトルの各成分に対する微分値を求める。そして、ステップＳ１３で、近似誤差の値を求め、これが十分小さな値になっているかどうかを判定する。十分小さな値となっていれば、そこで収束計算を打ち切り、その値を求めるべき波面法線ベクトルとする。そして、その値より、波面法線ベクトル方向の屈折率を計算する。近似誤差が小さいときは、ステップＳ１４、ステップＳ１５、Ｓ１６でニュートン法により、新しい波面法線ベクトルを求めて、ステップＳ１１に戻る。 |
【特許請求の範囲】
【請求項１】 屈折率異方性のある媒質に入射して屈折する光線の軌跡を求める光線追跡方法であって、屈折前後の波面法線ベクトルと、屈折後の波面法線ベクトル方向の屈折率と、境界面の法線ベクトルに関するベクトル方程式を、屈折後の波面法線ベクトルの成分の関数として表し、ニュートン法で解くことにより、光線の波面法線ベクトルと、その方向の屈折率を求める工程を有することを特徴とする光線追跡方法。
【請求項２】 請求項１に記載の光線追跡方法であって、波面法線ベクトルの方向の屈折率ｎを表す方法は、波面法線ベクトルに垂直な電気変位ベクトルの方向の単位ベクトル【数１】
の成分ｄi、ｄj（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚ）により、請求項1に記載の屈折後の媒質が内部応力のある等方性媒質の場合、【数２】
（但し、Ｃ1、Ｃ2は光弾性定数、ｎ0は、応力がかからる前の屈折率）
請求項1に記載の屈折後の媒質が非等方性結晶の場合、【数３】
（但し、βijは、屈折率楕円体【数４】
（ｘi，ｘj、＝ｘ，ｙ，ｚ）の係数）とし、波面法線ベクトルに直交し、それ自体が直交する２つの単位ベクトルを【数５】
とするとき、【数６】
で計算されるαより、前記【数７】
を、【数８】
βijを、【数９】
（ただし、【数１０】
でμは透磁率である）で表すことにより、波面法線ベクトルの成分の関数として表す方法であることを特徴とする光線追跡方法。
【請求項３】 内部応力のある媒質内の光線の軌跡を求める光線追跡方法であって、波面の進行に関する微分方程式を変形した、光軸をｘ軸としたときの波面法線ベクトルの方向余弦（Ｓｒx，Ｓｒy，Ｓｒz）に関する微分方程式【数１１】
（但し、【数１２】
）、及び光線ベクトル【数１３】
を電気ベクトル【数１４】
の単位方向ベクトル【数１５】
と、磁気ベクトル【数１６】
の方向の単位ベクトル【数１７】とから求める方程式【数１８】
を、Runge-Kutta法により求める工程を有することを特徴とする光線追跡方法。
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【発明の詳細な説明】【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、偏光を利用する光学系または、半導体素子製造用の投影光学系や、天体観測用の光学系等において、特に光線通過部材の、熱応力等の内部応力による光線の偏光分離が問題となるような光学系において、光線の軌跡を求める光線追跡方法に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】従来、複屈折がある硝材を光線が透過する場合の光線追跡は、例えば、１軸結晶を光線が入射する場合の屈折光線の屈折率と波面放線方向を求める方法については、M．C．Simonによって、“Ray tracing formulas for monoaxial opticalcomponents“という題名の文献で紹介されている。（Appl．Opt．(1983)pp354-360）
【０００３】また、一般的に2軸結晶に光線が入射する場合の屈折光線の屈折率と波面法線ベクトルを求める方法の原理については、ボルン・ウオルフ著：「光学の原理III」（邦訳：東海大学出版会）において、Fresnelの公式（同文献、p.980参照）を利用して求める方法が示されている。（同文献、P.999〜p.1000参照）
さらに、逐次近似を使用して２軸結晶内の光線追跡をする方法が、早水良定により示されている。（光学、23（1994）P.431-P.438）
【０００４】
【発明が解決しようとする課題】しかし、一般的に2軸結晶や内部応力のある媒質に光線が入射する場合、屈折光線の屈折率と波面法線ベクトルを求める方法は、１軸結晶において求めらるように、解析的に求められない。「光学の原理III」（P.999-P.1000）に示されたような方法で求めるためには、屈折光線の波面法線ベクトルのうち方向余弦の境界面に垂直な方向成分Srxを、位相速度uで割ったX=Srx/uに関する４次方程式をニュートン法により計算する必要がある。（「内部応力分布があるガラス内の光線追跡」：光学26、12（1997）P.677-P.684参照）
しかし前記のように４次方程式をニュートン法により計算する場合、計算機の計算精度が充分でないために、内部応力分布による屈折率変動が僅かな場合、それによる屈折光線の変動が精度よく計算できない場合があることが分かった。
【０００５】すなわち、従来の４次方程式をニュートン法により計算する方法では、４次方程式にするためには、屈折境界の法線方向に座標変換し、かつ応力の主軸方向に座標変換する必要がある。座標変換を行うためには、平方根の計算が必要であるが、平方根の計算をすると、計算機の有する有効数字が１６桁であっても、計算後の有効数字は８桁に減少する。従って、波面法線の方向余弦を座標変換したものの有効数字は８桁程度であるが、応力による方向余弦の変動は微小なので、この程度の有効数字では不充分である。
【０００６】また、Fresnelの公式を適用するためには屈折率楕円体の主軸方向に座標軸を回転する必要があるが、特に一般のレンズのように、光軸方向と媒質の境界面の法線方向が異なる場合は、座標軸をさらに回転する必要があり、計算誤差がさらに蓄積されることが分かった。
【０００７】また、内部応力のある媒質内での光線追跡を、前掲著「内部応力分布があるガラス内の光線追跡」では、波面に関する微分方程式を単純に差分化して計算しているが、応力集中のある媒質内でも高い精度を得るためには、差分の分割数をかなり多くしなければならないという問題点があった。
【０００８】本発明はこのような事情に鑑みてなされたもので、内部応力分布による屈折率変動が僅かな場合、特にレンズのように光軸方向と媒質の境界面の法線方向が異なる場合でも、精度良く屈折光線の波面法線ベクトルの方向余弦と、その方向の屈折率の両方を求め、それにより精度良く光線の軌跡を求める方法を提供することを第１の課題とする。
【０００９】また、前掲著「内部応力分布があるガラス内の光線追跡」に示された内部応力のある媒質内での光線追跡の計算方法よりも、さらに高精度の計算方法を提供することを第２の課題とする。
【００１０】
【課題を解決するための手段】前記課題を解決するための第１の手段は、屈折率異方性のある媒質に入射して屈折する光線の奇跡を求める光線追跡方法であって、屈折前後の波面法線ベクトルと、屈折後の波面法線ベクトル方向の屈折率と、境界面の法線ベクトルに関するベクトル方程式を、屈折後の波面法線ベクトルの成分の関数として表し、ニュートン法で解くことにより、光線の波面法線ベクトルと、その方向の屈折率を求める工程を有することを特徴とする光線追跡方法（請求項１）である。先ず、光線追跡し易いようにスネルの法則をベクトルで表わして用いる方法について説明する。即ち、【００１１】
【数１９】
【００１２】を入射光線の方向の、【００１３】
【数２０】
【００１４】を屈折後の波面法線方向の単位ベクトルとし、境界面の法線ベクトルを【００１５】
【数２１】
【００１６】とし、【００１７】
【数２２】
【００１８】と【００１９】
【数２３】
【００２０】とのなす角度をそれぞれθ0、θとし、屈折媒質に入射する前の媒質（空気等）の屈折率をｎB、入射後の媒質の屈折率をｎとすると、【００２１】
【数２４】
【００２２】但し、【００２３】
【数２５】
【００２４】となる。（１）式の両辺に【００２５】
【数２６】
【００２６】をベクトル積すると、ベクトルの公式により、【００２７】
【数２７】
【００２８】となる。
【００２９】
【数２８】
【００３０】と置いて、屈折前後の波面法線ベクトルと、その方向の屈折率と、境界面の法線ベクトルに関するベクトル方程式【００３１】
【数２９】
【００３２】を、屈折後の波面法線ベクトル【００３３】
【数３０】
【００３４】の関数としてニュートン法で解くことにより求める。その際、屈折後の屈折率ｎは、屈折後の波面法線ベクトルの関数として、【００３５】
【数３１】
【００３６】で表しておく。
【００３７】ニュートン法で解くためには、光軸をｘ軸とし、ｘ軸に垂直で互いに垂直な軸をｙ軸、ｚ軸とし、波面法線ベクトル【００３８】
【数３２】
【００３９】の近似値【００４０】
【数３３】
【００４１】のｙ成分、ｚ成分をそれぞれＳy、Ｓz、それらよりもさらに良い近似値をＳy＋δＳy、Ｓz＋δＳz【００４２】
【数３４】
【００４３】のy成分、z成分をそれぞれｆy、ｆzとすると、【００４４】
【数３５】
【００４５】となる。（６）式、（７）式をδＳy、δＳzに関する連立方程式として解いて、（４）式の波面法線ベクトル【００４６】
【数３６】
【００４７】に、ベクトル【００４８】
【数３７】
【００４９】即ち、S'y=Sy+δSy、S'z=Sz+δSz、S'x=(1-S'y2-S'z2)1/2を代入して、再び（６）式、（７）式の連立方程式をδSy、δSzに関して解くことを次々と繰り返すことにより、波面法線ベクトルの近似値【００５０】
【数３８】
【００５１】を真の値【００５２】
【数３９】
【００５３】に収束させていくことになる。波面法線ベクトルが求まれば、その方向の屈折率【００５４】
【数４０】
【００５５】も求められる。（６）式、（７）式の【００５６】
【数４１】
【００５７】は、Sx=(1-Sy2-Sz2)1/2より、【００５８】
【数４２】
【００５９】であることに注意すれば、【００６０】
【数４３】
【００６１】となる。（但し、ｉ，ｊ＝ｙ，ｚで、ｉ＝ｊのときδij＝１、 ｉ≠ｊのときδij＝０ ）
以上の工程を、図１にまとめて示す。まず、ステップＳ１１で、波面法線ベクトルを仮定する。そして、ステップＳ１２で、仮定した波面ベクトル方向の屈折率ｎを、仮定した波面法線ベクトルの関数として表すと共に、屈折率の、波面法線ベクトルの各成分に対する微分値を求める。そして、ステップＳ１３で、（４）式の値を求め、これが十分小さな値になっているかどうかを判定する。十分小さな値となっていれば、そこで収束計算を打ち切り、その値を求めるべき波面法線ベクトルとする。そして、その値より、波面法線ベクトル方向の屈折率を計算する。
【００６２】（４）式の値が十分小さな値になっていないときは、ステップＳ１４に移り、（９）式により、【００６３】
【数４４】
【００６４】を計算する。そして、ステップＳ１５で、この値に基づき、連立方程式（６）、（７）式を解いて、δＳy、δＳzを求め、ステップＳ１６で、新しい波面法線ベクトル【００６５】
【数４５】
【００６６】を求めて、これを新しい波面法線ベクトルとしてステップＳ１１に戻る。
【００６７】なお、以上の計算過程の説明は、本手段の内容を説明するための例として用いたものである。本手段の範囲は、あくまでも特許請求の範囲の文言範囲ととその均等範囲に及ぶものである。
【００６８】本手段においては、屈折前後の波面法線ベクトルと、その方向の屈折率と、境界面の法線ベクトルに関するベクトル方程式を、屈折後の波面法線ベクトルの成分の関数として表しているので、ニュートン法を利用することができ、これにより、屈折前後の波面法線ベクトル、さらにはその方向の屈折率を正確に求めるｋとができる。
【００６９】また、前述のように、従来の４次方程式をニュートン法により計算する方法では、波面法線の方向余弦を座標変換したものの有効数字は８桁程度であるが、応力による方向余弦の変動は微小なので、この程度の有効数字では不充分である。これに対し、本手段においては、波面法線の方向余弦を座標変換しないで済むので、有効数字は１６桁に保たれ、高精度の計算が可能になる。
【００７０】前記課題を解決するための第２の手段は、前記第１の手段であって、波面法線ベクトルの方向の屈折率ｎを表す方法が、波面法線ベクトルに垂直な電気変位ベクトルの方向の単位ベクトル【００７１】
【数４６】
【００７２】の成分ｄi、ｄj（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚ）により、前記第１の手段における屈折後の媒質が内部応力のある等方性媒質の場合、【００７３】
【数４７】
【００７４】（但し、Ｃ1、Ｃ2は光弾性定数、ｎ0は、応力がかかる前の屈折率）
請求項1に記載の屈折後の媒質が非等方性結晶の場合、【００７５】
【数４８】
【００７６】（但し、βijは、屈折率楕円体【００７７】
【数４９】
【００７８】（ｘi，ｘj、＝ｘ，ｙ，ｚ）の係数）とし、波面法線ベクトルに直交し、それ自体が直交する２つの単位ベクトルを【００７９】
【数５０】
【００８０】とするとき、【００８１】
【数５１】
【００８２】で計算されるαより、前記【００８３】
【数５２】
【００８４】を、【００８５】
【数５３】
【００８６】βijを、【００８７】
【数５４】
【００８８】（ただし、【００８９】
【数５５】
【００９０】でμは透磁率である）で表すことで、波面法線ベクトルの成分の関数として表す方法であることを特徴とするもの（請求項２）である。
【００９１】本手段においては、Fresnelの公式を適用して屈折率楕円体の主軸方向に座標軸を回転することによって計算の誤差が出ることを抑える為に、波面法線ベクトルの方向余弦が与えられた場合、座標軸を回転させないで、波面法線方向の屈折率を求める方法を採用している。
【００９２】すなわち、「波面法線楕円体を考えて、波面法線楕円体の原点を通り、波面法線ベクトルと直交する平面と楕円体の交線は楕円になる。このとき、この楕円の主軸の長さは、位相速度ｖの逆数に比例し、その主軸の方向は、電気変位ベクトル【００９３】
【数５６】
【００９４】の振動方向に一致している」（ボルン・ウオルフ著：「光学の原理III」、邦訳：東海大学出版会、P.984）という原理を利用する。つまり、波面法線ベクトルに直交する面と波面法線楕円体の交線である楕円の主軸を電気変位ベクトル【００９５】
【数５７】
【００９６】の方向とし、【００９７】
【数５８】
【００９８】の単位ベクトルの成分から、波面法線方向の屈折率を求める。この方法は、前掲著「内部応力分布があるガラス内の光線追跡」にあるように、Gradient Index光線追跡の場合のように、波面法線ベクトルの方向余弦が最初に与えられている場合に対して用いられた。しかし、本発明では、複屈折媒質に光線が入射して屈折する場合のように、波面法線ベクトルが未知の場合に対しても適用できるようにした。即ち、屈折前後の波面法線ベクトルと、屈折後の波面法線ベクトル方向の屈折率と、境界面の法線ベクトルに関するベクトル方程式を、屈折後の波面法線ベクトルの関数としてニュートン法で解くことにより求める。
【００９９】まず、座標軸を回転させないで、波面法線方向の屈折率を求める方法を簡単に述べる。そのためには、前掲著「内部応力分布があるガラス内の光線追跡」で述べられた方法を用いる。まず、応力光学定数ｑ11、ｑ12（ボルン・ウオルフ著「光学の原理III」P.1026〜P.1029参照）と、光弾性定数Ｃ1、Ｃ2との関係は、【０１００】
【数５９】
【０１０１】である。
【０１０２】直交変換しなくて、楕円の主軸が座標軸に一致しない一般の屈折率楕円体の式を、【０１０３】
【数６０】
【０１０４】とすると、前掲著「内部応力分布があるガラス内の光線追跡」で述べられているように、βijとｑ11、ｑ12の関係式は、応力が加わる前の屈折率ｎ0と、境界面と入射光線の交点上の応力分布σij（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚ）により、【０１０５】
【数６１】
【０１０６】である。
【０１０７】また、波面法線方向の単位ベクトルを【０１０８】
【数６２】
【０１０９】とし、それに直交する単位ベクトルを【０１１０】
【数６３】
【０１１１】とし、【０１１２】
【数６４】
【０１１３】とも互いに直交するとする。
【０１１４】
【数６５】
【０１１５】をｙｚ平面上のベクトルになるように選ぶと、【０１１６】
【数６６】
【０１１７】となり、【０１１８】
【数６７】
【０１１９】は、互いに直交する。なお、ここで、【０１２０】
【数６８】
【０１２１】をｙｚ平面上のベクトルになるように選んだが、【０１２２】
【数６９】
【０１２３】は波面方線方向の単位ベクトル【０１２４】
【数７０】
【０１２５】に垂直で、互いに垂直なベクトルであれば、任意のベクトルでよい。
【０１２６】次に、（ｘ，ｙ，ｚ） を【０１２７】
【数７１】
【０１２８】を直交座標軸とする座標上の点（ｓ、ｐ、ｒ）に変換する場合【０１２９】
【数７２】
【０１３０】であるので、【０１３１】
【数７３】
【０１３２】に垂直な平面は、（15）式でｓ＝０とおいて、これを、【０１３３】
【数７４】
【０１３４】と表わす。（１６）式を（１１）式に代入すると、この式は、ｐｒ平面上で「波面法線ベクトルと直交する平面と楕円体の交線」すなわち、楕円を表わしている。この楕円を、【０１３５】
【数７５】
【０１３６】とおくと、【０１３７】
【数７６】
【０１３８】となる。
【０１３９】
【数７７】
【０１４０】の座標軸を角度αだけ回転して、【０１４１】
【数７８】
【０１４２】になったとすると、【０１４３】
【数７９】
【０１４４】の座標軸による座標値、ｕ，ｔは、【０１４５】
【数８０】
【０１４６】となる。よって、ｐ，ｒは、【０１４７】
【数８１】
【０１４８】となる。
【０１４９】
【数８２】
【０１５０】が楕円の主軸となるためには、（２２）式を（１７）式に代入して、ｕｔの係数をゼロにする必要がある。ｕｔの係数をゼロとすることにより、角度αの満たすべき条件は、【０１５１】
【数８３】
【０１５２】となる。「光学の原理III」P.984により、楕円の主軸【０１５３】
【数８４】
【０１５４】は２つの直交する電気変位ベクトル【０１５５】
【数８５】
【０１５６】の方向に一致するので、【０１５７】
【数８６】
【０１５８】の方向の単位ベクトルを【０１５９】
【数８７】
【０１６０】とすると、【０１６１】
【数８８】
【０１６２】となる。
【０１６３】次に、波面法線方向の屈折率ｎを求める。
【０１６４】
【数８９】
【０１６５】をまとめて、【０１６６】
【数９０】
【０１６７】と表わし、【０１６８】
【数９１】
【０１６９】の単位ベクトル【０１７０】
【数９２】
【０１７１】の成分をｄx，ｄy，ｄzとする。
【０１７２】ｎ＝ｃ/v （ｃは光速、ｖは前述の位相速度）である。前述のように、波面法線楕円体を考えて、波面法線楕円体の原点を通り、波面法線ベクトルと直交する平面と楕円体の交線は楕円になる。このとき、この楕円の主軸の長さは、位相速度ｖの逆数に比例し、その主軸の方向は、電気変位ベクトルの振動方向に一致している（ボルン・ウオルフ著：「光学の原理III」、邦訳：東海大学出版会、P.984）から、（２４）式で求めた【０１７３】
【数９３】
【０１７４】による波面法線楕円体を1/μ倍に比例した屈折率楕円体の主軸の長さは、屈折後の波面法線方向の屈折率ｎ＝ｃ/vそのものとなる。よって、【０１７５】
【数９４】
【０１７６】による主軸のベクトル【０１７７】
【数９５】
【０１７８】を（１１）式に代入することにより、ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚとすると、【０１７９】
【数９６】
【０１８０】が得られるので、これから、波面法線方向の屈折率ｎは、【０１８１】
【数９７】
【０１８２】となる。（２６）式に、（２４）式を代入すれば、波面法線方向の屈折率ｎを求められる。
【０１８３】内部応力によって屈折率が変化して、【０１８４】
【数９８】
【０１８５】が微小変化する場合、（２６）式に平方根の計算があるために、計算誤差が出るので、（２６）式の平方根をベキ級数展開して近似する。
【０１８６】すなわち、|x|＜|a|のとき、(a+x)-1/2= 1/a1/2{1-x/(2a)+3x2/(8a3)-…} …(27)である。１/ｎ0はｑ11σii/μ等に対して十分大きいので、（２７）式の第２項までをとって近似すると、【０１８７】
【数９９】
【０１８８】が得られる。（２８）式に（１０）式を代入し、【０１８９】
【数１００】
【０１９０】を考慮すると、【０１９１】
【数１０１】
【０１９２】となる。この式が、内部応力のある場合、主軸に変換しないで波面法線方向の屈折率を与える式になる。（屈折率異方性の媒質が２軸結晶の場合、波面法線方向の屈折率ｎは（２６）式で与えられる。）
以上が座標軸を回転させないで、波面法線方向の屈折率を求める方法である。これらの式を利用すれば、屈折後の波面法線方向の屈折率を屈折後の波面法線ベクトルの成分の関数として表すことができるので、前記第１の手段に利用することができる。本手段においては、座標軸を回転させないで波面法線方向の屈折率を求めることができるので、計算精度を上げることができる。
【０１９３】屈折後の波面法線方向の屈折率を屈折後の波面法線ベクトルの成分の関数として表す手順をまとめて図２に示す。空気とガラスのように異なった媒質の境界での屈折の状態を計算する場合、波面法線ベクトルとその方向の屈折率の両方が未知数であるので、図２に示す方法だけでは屈折率を求めることはできない。そこで、前記第１の手段の一部分として使用し、収束計算により波面法線ベクトルを求めれば、それから、図２に示す工程により、その方向の屈折率を求めることができるようになる。
【０１９４】内部応力のある媒質に光線が入射して屈折する場合の、波面法線ベクトル【０１９５】
【数１０２】
【０１９６】の方向の屈折率【０１９７】
【数１０３】
【０１９８】は、（２９）式のｄi、ｄjに、（２４）式を代入することにより求める。（２４）式の【０１９９】
【数１０４】
【０２００】は（１３）、（１４）式から、αは（１８）〜（２０）式と（２３）式から求める。βijは（１２）式から求められる。このようにすれば、屈折後の波面法線ベクトル方向の屈折率を、屈折後の波面法線ベクトルの関数として表すことができる。
【０２０１】また、これらの方向余弦による微分【０２０２】
【数１０５】
【０２０３】は、（２９）式により、【０２０４】
【数１０６】
【０２０５】となる。（但し、ｋ＝ｙ，ｚ）
（２４）式により、【０２０６】
【数１０７】
【０２０７】または、【０２０８】
【数１０８】
【０２０９】となる。（但し、ｉ＝ｘ，ｙ，ｚ、 ｋ＝ｙ，ｚ）
また、（１３）、（１４）式の微分は、（８）式により、（但し、ｋ＝ｙ、ｚ）
【０２１０】
【数１０９】
【０２１１】
【数１１０】
【０２１２】また、（１８）〜（２０）式、（２３）式より、 cosα、sinαの微分は、【０２１３】
【数１１１】
【０２１４】
【数１１２】
【０２１５】となる。内部応力のある媒質に光線が入射して屈折する場合、波面法線ベクトル【０２１６】
【数１１３】
【０２１７】の方向の屈折率【０２１８】
【数１１４】
【０２１９】の微分【０２２０】
【数１１５】は、（３０）式に（３１）式から（４０）式を代入することにより求められる。また、一般に2軸結晶に光線が入射して屈折する場合、波面法線ベクトル
【０２２１】
【数１１６】の方向の屈折率【０２２２】
【数１１７】
【０２２３】の方向余弦による微分【０２２４】
【数１１８】
【０２２５】は、（２６）式を微分して、【０２２６】
【数１１９】
【０２２７】となるので（但し、ｋ＝ｙ，ｚ）、（４１）式に（３１）式から（４０）式を代入することにより求められる。
【０２２８】以上をまとめると、波面法線ベクトルの方向の屈折率【０２２９】
【数１２０】
【０２３０】およびその波面法線ベクトルの方向余弦による微分【０２３１】
【数１２１】
【０２３２】は、それぞれ、内部応力のある媒質の場合、（２９）式および（３０）式で、一般の2軸結晶の場合、（２６）式および（４１）式で与えられる。
【０２３３】前記課題を解決する第３の手段は、内部応力のある媒質内の光線の軌跡を求める光線追跡方法であって、波面の進行に関する微分方程式を変形した、光軸をｘ軸としたときの波面法線ベクトルの方向余弦（Ｓｒx，Ｓｒy，Ｓｒz）に関する微分方程式【０２３４】
【数１２２】
【０２３５】（但し、【０２３６】
【数１２３】
【０２３７】）、及び光線ベクトル【０２３８】
【数１２４】
【０２３９】を電気ベクトル【０２４０】
【数１２５】
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