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【発明の名称】 非線形及び自励システムの周期的定常解演算装置及び方法、周波数解析装置、及び雑音解析装置
【発明者】 【氏名】奥村 万規子

【氏名】谷本 洋
【要約】 【課題】解析の精度を向上させつつ短時間で周期的定常解を演算することができる非線形システムの周期的定常解演算装置を提供する。

【解決手段】周期的外力を加えたことによって周期的に動作している非線形システムの周期的定常解を演算する周期的定常解演算装置において、数値積分手段１と、初期値決定手段２と、収束判定手段３と、積分結果保存手段４と、出力手段５とを具備し、数値積分手段１は、少なくとも最終的に出力する周期解の演算には、初めの１ポイントを含むすべての時刻において２次以上の数値積分を用いる。
【特許請求の範囲】
【請求項１】 周期的外力を加えたことによって周期的に動作している非線形システムの周期的定常解を演算する周期的定常解演算装置において、決定された解変数の初期値から数値積分を行なう数値積分手段と、この数値積分手段で演算した１周期の積分結果を用いて次の初期値を決定して前記数値積分手段にフィードバックする初期値決定手段と、前記数値積分手段で計算された１周期の積分結果が定常状態に達しているかどうかの判断を行なう収束判定手段と、前記数値積分手段で計算された１周期の積分結果を保存する積分結果保存手段と、この積分結果保存手段に保存された１周期の積分結果、前記収束判定手段で定常状態に達していると判断されたときの１周期の積分結果、前記収束判定手段で定常状態に達していないと判断されたときの１周期の積分結果のうち、任意の１周期の積分結果を出力する出力手段と、を具備し、上記数値積分手段は、少なくとも最終的に出力する周期解の演算には、初めの１ポイントを含むすべての時刻において２次以上の数値積分を用いることを特徴とする非線形システムの周期的定常解演算装置。
【請求項２】 自励システムの周期的定常解を演算する装置において、決定された解変数の初期値から数値積分を行なう数値積分手段と、この数値積分手段で演算した１周期の積分結果を用いて次の初期値を決定して前記数値積分手段にフィードバックする初期値決定手段と、前記数値積分手段で計算された１周期の積分結果が定常状態に達しているかどうかの判断を行なう収束判定手段と、前記数値積分手段で計算された１周期の積分結果を保存する積分結果保存手段と、この積分結果保存手段に保存された１周期の積分結果、前記収束判定手段で定常状態に達していると判断されたときの１周期の積分結果、前記収束判定手段で定常状態に達していないと判断されたときの１周期の積分結果のうち、任意の１周期の積分結果を出力する出力手段と、を具備し、上記数値積分手段は、少なくとも最終的に出力する周期解の演算には、初めの１ポイントを含むすべての時刻において損失のない数値積分を用いることを特徴とする自励システムの周期的定常解演算装置。
【請求項３】 前記周期的定常解演算装置と、この周期的定常解演算装置で演算した周期解の離散時刻の周期的線形時変パラメータを保存する周期的線形時変パラメータ保存手段と、前記周期的線形時変パラメータを用いて入力から出力までの離散時刻の周期的時変伝達関数を演算する周期的時変伝達関数演算手段と、前記離散時刻の周期的時変伝達関数を用いて出力スペクトルを演算する出力スペクトル演算手段と、を具備したことを特徴とする請求項１記載の非線形システムの周期的定常解演算装置を用いた非線形システムの周波数解析装置。
【請求項４】 前記周期的定常解演算装置と、この周期的定常解演算装置で演算した周期解の離散時刻の周期的線形時変パラメータを保存する周期的線形時変パラメータ保存手段と、前記周期的線形時変パラメータを用いて入力から出力までの離散時刻の周期的時変伝達関数を演算する周期的時変伝達関数演算手段と、前記離散時刻の周期的時変伝達関数を用いて出力スペクトルを演算する出力スペクトル演算手段と、を具備したことを特徴とする請求項２記載の自励システムの周期的定常解演算装置を用いた自励システムの周波数解析装置。
【請求項５】 前記周波数解析装置を用いて各雑音源から出力までの出力スペクトルを演算する出力スペクトル演算手段と、上記出力スペクトルを用いて出力雑音を演算する出力雑音演算手段と、を具備したことを特徴とする請求項３記載の非線形システムの周波数解析装置を用いた非線形システムの雑音解析装置。
【請求項６】 前記周波数解析装置を用いて各雑音源から出力までの出力スペクトルを演算する出力スペクトル演算手段と、上記出力スペクトルを用いて出力雑音を演算する出力雑音演算手段と、を具備したことを特徴とする請求項４記載の自励システムの周波数解析装置を用いた自励システムの雑音解析装置。
【請求項７】 前記離散時刻の伝達関数、及び、前記離散時刻の雑音スペクトルを出力する出力手段を備えたことを特徴とする請求項３乃至６のいずれか１つの装置を用いた非線形システム解析装置。
【請求項８】 周期的外力を加えたことによって周期的に動作している非線形システムの周期的定常解を演算する周期的定常解演算方法において、決定された解変数の初期値から数値積分を行なう数値積分工程と、この数値積分工程で演算した１周期の積分結果を用いて次の初期値を決定して前記数値積分工程にフィードバックする初期値決定工程と、前記数値積分工程で計算された１周期の積分結果が定常状態に達しているかどうかの判断を行なう収束判定工程と、前記数値積分工程で計算された１周期の積分結果を保存する積分結果保存工程と、この積分結果保存工程で保存された１周期の積分結果、前記収束判定工程で定常状態に達していると判断されたときの１周期の積分結果、前記収束判定工程で定常状態に達していないと判断されたときの１周期の積分結果のうち、任意の１周期の積分結果を出力する出力工程と、を具備し、上記数値積分工程は、少なくとも最終的に出力する周期解の演算には、初めの１ポイントを含むすべての時刻において２次以上の数値積分を用いることを特徴とする非線形システムの周期的定常解演算方法。
【請求項９】 自励システムの周期的定常解を演算する方法において、決定された解変数の初期値から数値積分を行なう数値積分工程と、この数値積分工程で演算した１周期の積分結果を用いて次の初期値を決定して前記数値積分工程にフィードバックする初期値決定工程と、前記数値積分工程で計算された１周期の積分結果が定常状態に達しているかどうかの判断を行なう収束判定工程と、前記数値積分工程で計算された１周期の積分結果を保存する積分結果保存工程と、この積分結果保存工程で保存された１周期の積分結果、前記収束判定工程で定常状態に達していると判断されたときの１周期の積分結果、前記収束判定工程で定常状態に達していないと判断されたときの１周期の積分結果のうち、任意の１周期の積分結果を出力する出力工程と、を具備し、上記数値積分工程は、少なくとも最終的に出力する周期解の演算には、初めの１ポイントを含むすべての時刻において損失のない数値積分を用いることを特徴とする自励システムの周期的定常解演算方法。
【発明の詳細な説明】【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、非線形及び自励システムの周期的定常解演算装置及び方法、周波数解析装置、及び雑音解析装置に関する。
【０００２】
【従来の技術】例えば回路シミュレーションにおける初期値問題として、数値積分とその繰り返し演算によって、非線形回路の周期的定常解を演算する周期的定常解演算手段が知られている。
【０００３】
【発明が解決しようとする課題】しかしながら、上記した周期的定常解演算手段では、過去の情報が初期値のみであるため、初めの１ポイントめは１次数値積分法を用いていた。例えば、２次の数値積分法である台形公式では、１つ前の時刻の微分値が必要であり、Ｇｅａｒ法では、２つ前の時刻の微分値が必要である。しかしながら、初めの１ポイントめにはそれらの情報がないため、１次積分法を使わざるを得なかった。１次積分法は２次積分法に比べて誤差が大きく、誤差を小さくするためには、非常に細かく時間を離散化する必要があった。
【０００４】市販の回路シミュレータは、解析途中のすべての時刻において２次以上の数値積分法を用いることができるが、初めの１ポイントめは１次積分法を用いている。
【０００５】また、発振器の雑音を演算する装置として以下の文献［１］があるが、そこでは、損失のある数値積分法を用いているために高精度の解析を行なうことができなかった。
【０００６】文献［１］：奥村、谷本、“自励システムの雑音解析装置”、特願平７−３４１９３４号。本発明はこのような課題に着目してなされたものであり、その目的とするところは、定常解の周期性を利用して周期解の最後の値を用いて初めの１ポイントめから２次以上の数値積分を用いることにより、解析の精度を向上させつつ短時間で周期的定常解を演算することができる非線形システムの周期的定常解演算装置及び方法、周波数解析装置、及び雑音解析装置を提供することにある。
【０００７】また、本発明の他の目的は、損失のない数値積分法を用いて高精度のシミュレーション結果を得ることができる自励システムの周期的定常解演算装置及び方法、周波数解析装置、及び雑音解析装置を提供することにある。
【０００８】
【課題を解決するための手段】上記の目的を達成するために、第１の発明は、周期的外力を加えたことによって周期的に動作している非線形システムの周期的定常解を演算する周期的定常解演算装置において、決定された解変数の初期値から数値積分を行なう数値積分手段と、この数値積分手段で演算した１周期の積分結果を用いて次の初期値を決定して前記数値積分手段にフィードバックする初期値決定手段と、前記数値積分手段で計算された１周期の積分結果が定常状態に達しているかどうかの判断を行なう収束判定手段と、前記数値積分手段で計算された１周期の積分結果を保存する積分結果保存手段と、この積分結果保存手段に保存された１周期の積分結果、前記収束判定手段で定常状態に達していると判断されたときの１周期の積分結果、前記収束判定手段で定常状態に達していないと判断されたときの１周期の積分結果のうち、任意の１周期の積分結果を出力する出力手段とを具備し、上記数値積分手段は、少なくとも最終的に出力する周期解の演算には、初めの１ポイントを含むすべての時刻において２次以上の数値積分を用いる。
【０００９】また、第２の発明は、自励システムの周期的定常解を演算する装置において、決定された解変数の初期値から数値積分を行なう演算する数値積分手段と、この数値積分手段で演算した１周期の積分結果を用いて次の初期値を決定して前記数値積分手段にフィードバックする初期値決定手段と、前記数値積分手段で計算された１周期の積分結果が定常状態に達しているかどうかの判断を行なう収束判定手段と、前記数値積分手段で計算された１周期の積分結果を保存する積分結果保存手段と、この積分結果保存手段に保存された１周期の積分結果、前記収束判定手段で定常状態に達していると判断されたときの１周期の積分結果、前記収束判定手段で定常状態に達していないと判断されたときの１周期の積分結果のうち、任意の１周期の積分結果を出力する出力手段とを具備し、上記数値積分手段は、少なくとも最終的に出力する周期解の演算には、初めの１ポイントを含むすべての時刻において損失のない数値積分を用いる。
【００１０】また、第３の発明に係る非線形システムの周波数解析装置は、第１の発明において、前記周期的定常解演算装置と、この周期的定常解演算装置で演算した周期解の離散時刻の周期的線形時変パラメータを保存する周期的線形時変パラメータ保存手段と、前記周期的線形時変パラメータを用いて入力から出力までの離散時刻の周期的時変伝達関数を演算する周期的時変伝達関数演算手段と、前記離散時刻の周期的時変伝達関数を用いて出力スペクトルを演算する出力スペクトル演算手段とを具備する。
【００１１】また、第４の発明に係る自励システムの周波数解析装置は、第２の発明において、前記周期的定常解演算装置と、この周期的定常解演算装置で演算した周期解の離散時刻の周期的線形時変パラメータを保存する周期的線形時変パラメータ保存手段と、前記周期的線形時変パラメータを用いて入力から出力までの離散時刻の周期的時変伝達関数を演算する周期的時変伝達関数演算手段と、前記離散時刻の周期的時変伝達関数を用いて出力スペクトルを演算する出力スペクトル演算手段とを具備する。
【００１２】また、第５の発明に係る非線形システムの雑音解析装置は、第３の発明において、前記周波数解析装置を用いて各雑音源から出力までの出力スペクトルを演算する出力スペクトル演算手段と、上記出力スペクトルを用いて出力雑音を演算する出力雑音演算手段とを具備する。
【００１３】また、第６の発明に係る自励システムの雑音解析装置は、第４の発明において、前記周波数解析装置を用いて各雑音源から出力までの出力スペクトルを演算する出力スペクトル演算手段と、上記出力スペクトルを用いて出力雑音を演算する出力雑音演算手段とを具備する。
【００１４】また、第７の発明に係る非線形システム解析装置は、第３乃至第６のいずれか１つの装置において、前記離散時刻の伝達関数、及び、前記離散時刻の雑音スペクトルを出力する出力手段を備えている。
【００１５】また、第８の発明は、周期的外力を加えたことによって周期的に動作している非線形システムの周期的定常解を演算する周期的定常解演算方法において、決定された解変数の初期値から数値積分を行なう数値積分工程と、この数値積分工程で演算した１周期の積分結果を用いて次の初期値を決定して前記数値積分工程にフィードバックする初期値決定工程と、前記数値積分工程で計算された１周期の積分結果が定常状態に達しているかどうかの判断を行なう収束判定工程と、前記数値積分工程で計算された１周期の積分結果を保存する積分結果保存工程と、この積分結果保存工程で保存された１周期の積分結果、前記収束判定工程で定常状態に達していると判断されたときの１周期の積分結果、前記収束判定工程で定常状態に達していないと判断されたときの１周期の積分結果のうち、任意の１周期の積分結果を出力する出力工程とを具備し、上記数値積分工程は、少なくとも最終的に出力する周期解の演算には、初めの１ポイントを含むすべての時刻において２次以上の数値積分を用いる。
【００１６】また、第９の発明は、自励システムの周期的定常解を演算する方法において、決定された解変数の初期値から数値積分を行なう数値積分工程と、この数値積分工程で演算した１周期の積分結果を用いて次の初期値を決定して前記数値積分工程にフィードバックする初期値決定工程と、前記数値積分工程で計算された１周期の積分結果が定常状態に達しているかどうかの判断を行なう収束判定工程と、前記数値積分工程で計算された１周期の積分結果を保存する積分結果保存工程と、この積分結果保存工程で保存された１周期の積分結果、前記収束判定工程で定常状態に達していると判断されたときの１周期の積分結果、前記収束判定工程で定常状態に達していないと判断されたときの１周期の積分結果のうち、任意の１周期の積分結果を出力する出力工程とを具備し、上記数値積分工程は、少なくとも最終的に出力する周期解の演算には、初めの１ポイントを含むすべての時刻において損失のない数値積分を用いる。
【００１７】
【発明の実施の形態】以下、図面を参照して本発明の実施形態を詳細に説明する。図１は、本発明の第１実施形態が適用される非線形システムの周期的定常解演算装置の構成を示すブロック図である。図示のように、この周期的定常解演算装置は、数値積分手段１と、初期値決定手段２と、収束判定手段３と、積分結果保存手段４と、出力手段５と、から構成されている。
【００１８】数値積分手段１は、初期値決定手段２で決定した解変数の初期値からシステムの周期Ｔの時間、数値積分を行なう手段である。初期値決定手段２は、文献［２］、［３］、［４］、［５］に示すようにニュートン法を用いる手法や、数値積分手段１で演算した最後の時刻の解変数の値をそのまま用いる手法を用いて初期値を決定する手段である。
【００１９】予め正確な周期がわからない自励システムの場合は、以下の文献［３］、［４］、［５］の方法で周期Ｔを決定する。
文献［２］：T.J.Aprilic and T.N.Trick,“Steady-state analysis of nonlinear circuits with periodic inputs, ”Proc.IEEF,Vol.60,No.1,pp.108-114,Jan. 1972.文献［３］：K.S.Kundert,J.K.White,and A.Sangiovanni-Vincentelli,Steady-state methods for simulating analog and microwave circuits,Kluwer Academic Publishers,U.S.A.,1990.文献［４］：F.B.Graosz and T.N.Trick, “Some Modifications to Newton'sfor the Determination of the Steady-State Response of Nonlinear Oscillatory Circuits,”IEEE Trans. Comput.-Aided Des. Integrated Circiuts Syst.,Vol.CAD-1. No.3,July 1982.文献［５］：M.Kakizaki and T.Sugawara,“A modified Newton methods forthe steady-state analysis,”IEEE Trans.Comput.-Aided Des.Integrated Circuits Syst.,Vol.CAD-4,No.4,pp.662-667,Oct.1985.収束判定手段３は、解析結果が定常状態に達しているかどうかの判断を行なう手段である。積分結果保存手段４は数値積分手段１で計算した結果を保存する手段である。出力手段５は積分結果保存手段４で保存した結果を出力する手段である。上記出力手段５は繰り返し毎に解析結果を出力することや、最終的に収束して定常状態に達した１周期の積分結果のみを出力することが可能である。
【００２０】以下に図２を参照して図１に示す周期的定常解演算装置の動作を説明する。まず、ステップＳ１において、収束の有無を示すフラグＦをＢに設定する。Ｆ＝Ｂは１周期の積分結果が収束していないことを示す。次に、数値積分手段１によって数値積分を行なって１周期の積分結果を演算する（ステップＳ２）。次に、ステップＳ４に進んで、数値積分手段１によって演算した１周期の積分結果が、定常状態に達した数値積分の結果であるかどうかすなわち、Ｆ＝Ａ（定常状態に達している）であるか、あるいはＦ＝Ｂ（定常状態に達していない）であるかを判断する。この時点ではＦ＝Ｂとなっているので次のステップＳ５に進んで１周期の積分結果を用いて次の初期値の決定を行なう。その後、その初期値が定常状態に収束しているかどうかを判断する（ステップＳ６）。このとき収束している場合はＦ＝Ａとし（ステップＳ８）、収束していない場合はＦ＝ＢのままステップＳ９に進む。
【００２１】ステップＳ９において、途中結果を出力しない（Ｎｏ）場合はステップＳ２に戻って数値積分を行なう。ここで、ステップＳ２の数値積分にはステップＳ５で決定した初期値を用いる。また、ステップＳ３では、ステップＳ２での数値積分手段１による演算と並行して、その演算結果を積分結果保存手段４によって保存する。
【００２２】ステップＳ９において、途中結果を出力する（Ｙｅｓ）場合は出力手段５を介して、ステップＳ３で保存した解析結果を出力し（ステップＳ１０）、その後、ステップＳ２に戻って数値積分を行なう。この数値積分にはステップＳ５で決定した初期値を用いる。途中結果を出力するかどうかはユーザーが指定する。あるいは、あらかじめ決定しておく。
【００２３】ステップＳ６でＹｅｓ（Ｆ＝Ａ）となってステップＳ２に戻って数値積分を行なう場合は、全ての時刻において、２次以上の数値積分法を用いる。次に、ステップＳ４に進んで収束しているかどうかの判断をするが、この時点で収束している（Ｆ＝Ａ）の場合はステップＳ３で保存した演算結果を最終出力として出力手段５を介して出力する。
【００２４】最後にステップＳ１１で最終出力であることが確認されたときに処理を終了する。ここで本実施形態による周期的定常解演算装置では、上記したように、少なくとも最終的に出力する定常状態に達した１周期の積分結果については、その１周期の積分結果の数値積分のすべての時刻において、２次以上の数値積分を用いることを特徴とする。
【００２５】例えば、台形公式を用いる場合、１ポイント前の時刻の変数の値と微分値が必要である。したがって、図３に示す時間目盛において、τ1 時刻の計算のためには、０時刻の解変数の値と微分値が必要である。しかしながら、初期値問題として微分方程式を解く場合、与えられるのは初期値のみであり、０時刻の微分値はわからない。そこで従来は、τ1 時刻の数値積分には１つ前の時刻の微分値は必要とせず、１つ前の時刻の変数の値だけで演算できる１次積分法（後退オイラー法）を使わざるを得なかった。
【００２６】市販の回路シミュレータには、解析途中のすべての時刻において、２次の数値積分を用いるものがあるが、その場合も第１ポイントめは例外として、１次の数値積分を使わざるを得なかった。１次積分法は２次積分法より誤差が大きくなり、誤差を小さくするためには数値積分の刻み幅を非常に細かく取る必要があった。
【００２７】これに対して、本実施形態による周期的定常解演算装置では、図４に示すように、周期的定常解において、０時刻の値は周期Ｔ時間後の値と等しい事を利用し、初めの時刻（図３のτ1 ）の計算にも、２次以上の数値積分法を用いることができる。台形公式の場合は、Ｔ（Ｔ＝τP ）時刻の変数の値と微分値を用い、また、２次のＧｅａｒ法の場合は、τP 時刻とτP-1 時刻の変数の値を用いる。
【００２８】初期値決定手段２で、数値積分手段１で演算した最後の時刻の変数の値をそのまま用いて初期値を決定する場合には、過渡解析を何周期か行う手法と同じだから、最終出力に限らず、毎周期ごとに、１ポイントめから２次以上の数値積分法を用いることができる。
【００２９】図５及び図６は、ＬＣフィルタの周期的定常解演算結果を示す図である。図５は第１ポイントに１次の数値積分法の後退オイラー法を用いたものであり、図６は第１ポイントに２次の数値積分法の台形公式を用いた結果を示している。図５と図６で、数値積分の刻みはそれぞれ同じ固定刻み幅を用いた。図５では初めの１ポイントめに１次積分法を用いたため、その誤差が何周期かに渡って影響している。市販の回路シミュレータで‘すべて台形公式’の項目を選択した場合でも、第１ポイントめは１次の数値積分法を用いているため、ＬＣフィルタの解析結果は図５のように誤差を含んだものになる。
【００３０】周期的定常解を演算する目的の一つに、２信号を加えたときの相互歪みを観測する場合がある。回路設計の段階で相互歪みを見積もることは非常に重要である。たとえば、図７のように、周波数がｆ1 とｆ2 である２つの信号を加えたとき、ｆ2 −ｆ1 ，２ｆ1 −ｆ2 ，２ｆ2 −ｆ1 の周波数成分を見るとする。このためには、周期的定常解の何周期分かをフーリエ変換するが、ここでもし、インパルス状の誤差を含んだ周期的定常解をフーリエ変換すると、図８に示すように、誤差による雑音で、観測したい成分が隠れてしまう。このように、周波数定常解が精度の良いものでないと、小さい相互歪みの成分を正しく観測することができない。
【００３１】このように、図５に示すように誤差を含んだ周期的定常解では、誤差による雑音で歪み成分が隠れてしまうが、本実施形態による周期的定常解演算装置では、歪み成分も正しく観測できる。
【００３２】以下に、本発明の第２実施形態を図面を参照して説明する。図９は本発明の第２実施形態が適用される自励システムの周波数解析装置の構成を示すブロック図である。図示のように、この周波数解析装置は、周期的定常解演算手段６と、周期的線形時変パラメータ保存手段７と、離散時刻の周期的時変伝達関数演算手段８と、出力スペクトル演算手段９と、出力雑音演算手段１０と、から構成されている。
【００３３】周期的定常解演算手段６は、損失のない数値積分法を用いて周期的定常解を演算する手段である。定常解が得られるまで数値積分を行なう方法や、シューティング法（前記した文献［３］［４］）を用いて演算する手法がある。
【００３４】以下に、損失のない数値積分法を用いる理由を図１０に示す簡単な発振器のモデルを用いて説明する。図１０の回路はＲＬＣの共振器と負性抵抗−ｒから成る。ここで、負性抵抗−ｒは能動素子の利得を意味する。回路が定常的に発振しているとき、負性抵抗値ｒと抵抗Ｒは等しく、Ｒ−ｒ＝０で、回路のＱは無限大となる。しかしながら、損失のある数値積分を用いて発振しているシミュレーション結果では、図１１に示すように、数値積分のために生じた損失ＲL ，ＲC を含めて発振しているため、Ｒ＋ＲL ＋ＲC −ｒ＝０となる。すなわち、過剰な負性抵抗が数値積分の損失を補っている。この過剰な負性抵抗が等価回路のＱを減少させており、雑音の周波数特性の精度が大幅に落ちてしまう。
【００３５】その結果、位相雑音のシミュレーション結果は図１２に示すように、発振周波数の近傍で平らになってしまう。位相雑音は図１３に示すように、１／ｆ雑音が支配的な周波数では離調周波数に対して、９ｄＢ／ｏｃｔａｖｅで減少し、白色雑音が支配的な周波数では離調周波数に対して、６ｄＢ／ｏｃｔａｖｅで減少することが知られている（文献［６］）。ここで、横軸の周波数はｌｏｇスケールである。このように、損失のある数値積分を使うと、離調周波数の近傍の雑音が正しくシミュレーションできない。
【００３６】文献［６］：D.B.Leeson, “A simple model of feedback oscillator noisespectrum, ”Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ＩＥＥＥ，ｐｐ．３２９−３３０，Ｆｅｂ．１９６６．
上記したように、第２実施形態では、数値積分は主に損失のない手法を用いる。損失のない数値積分法の一つには台形公式がある。また、第１実施形態で説明した非線形システムの解析装置と同様に、自励システムの定常解の周期性を利用し、第１ポイントめから、２次積分を用いることを特徴とする。
【００３７】周期的線形時変パラメータ保存手段７では、周期的定常解演算手段６で演算した周期的定常解の一周期に渡る数値積分の各離散時間ごとに、自励システムの線形パラメータを保存する手段である。例えば、次式で表される自励システムを考える。
【００３８】
【数１】

【００３９】（１）式で表されるシステムは安定な１周期の積分結果ｙｓｔ（ｔ） を持つと仮定する。
ｙst（ｔ＋Ｔ）＝ｙst(t) （２）
（２）式の１周期の積分結果の線形時変パラメータは次の（３）式の左辺の行列を構成する各小行列、Ｊm ，Ｋm である。この例では、初めの１ポイントを含むすべての時刻で損失のない２次の数値積分法である台形公式を用いた。
【００４０】
【数２】

【００４１】
【数３】

【００４２】ここで、ｈ，Ｐ，τの定義は図１４に示す通りである。Ｘm ，ｆｏｒ ｍ＝１２，…，Ｐは離散時刻の周期的時変伝達関数であり、ｕは雑音源の位置を表すベクトルである。例えば、雑音源を等価電流源で置き換え、回路方程式をＭＮＡ（修正接点解析法）を用いて作成した場合、等価電流源の正のノードの変数が−１、負のノードの変数が１で、他の変数はすべて０であるベクトルとなる。
【００４３】周期的線形時変パラメータ保存手段７は、（３）式の左辺の小行列Ｊm ，Ｋm，ｆｏｒ ｍ＝１，２，３，…，Ｐ、あるいは、Ｊm ，Ｋm を構成するために必要な情報、あるいは、（３）式のＸm ，ｆｏｒ ｍ＝１，２，…，Ｐを演算するために必要な情報を保存する手段である。
【００４４】離散時刻の周期的時変伝達関数演算手段８では、周期的線形時変パラメータ保存手段７で保存した情報を用いて、（３）式のＸm ，ｆｏｒ ｍ＝１，２，…，Ｐを演算する手段である。（３）式を解く手法としてはＬＵ分解法やKrylov subspace を用いる方法［７］などがある。
【００４５】文献［７］：R.Telichevesky,K.S.Kundert and J.White, “Efficient AC andNoise Analysis of Two-Tone RF Circuits,”in Proc.Design Automation Conferense,June 1996.出力スペクトル演算手段９は、離散時刻の周期的時変伝達関数を用いて、そのフーリエ成分を数値的に演算する手段である。周期的時変伝達関数Ｈ（Ω，ｔ）とそのフーリエ成分Ｈc （Ω）の関係は以下の通りである。
【００４６】
【数４】

【００４７】ここで、ω0 ＝２π／Ｔ，Ｔは自励システムの周期である。これらのフーリエ成分の意味は、Ｈ0 （Ω）は入力周波数Ωと同じ周波数に出力される成分の伝達関数であり、Ｈc （Ω）（ｃは０でない）は周波数変換されてΩ＋ｃω0 に出力される成分の伝達関数と考えることができる。
【００４８】出力雑音演算手段１０は、出力スペクトル演算手段９で演算した出力スペクトルを用いて雑音源からの電力スペクトル密度を演算する手段である。ある雑音源からの周期的時変回路の出力雑音電力スペクトル密度は（５）式で表されることが知られている。
【００４９】
【数５】

【００５０】ここで、ｓn は雑音源の電力スペクトル密度であり、白色雑音では周波数に依存しない定数となる。Ｈc （ω−ｃω0 ）は入力周波数がω−ｃωのとき周波数変換されて、周波数ωに現れる成分の伝達関数を表している。それぞれのＨc （ω−ｃω0 ）については出力スペクトル手段９で演算する。
【００５１】ここで、前記した離散時刻の周期的時変伝達関数演算手段８で演算した入力ｕからの離散時刻の伝達関数、Ｘ1 （Ω），Ｘ2 （Ω），…，ＸP （Ω）はＨ（ｊΩ，τ1 ）ｕ，Ｈ（ｊΩ，τ2 ）ｕ，…，Ｈ（ｊΩ，τP ）ｕに対応する。（５）式の出力雑音電力スペクトル密度は１つの雑音源からの出力雑音である。全雑音源からの出力雑音電力スペクトル密度を演算するにはそれぞれの電力スペクトル密度を全て足し合わせる。
【００５２】本実施形態における周波数解析装置では、離散時刻の周期的時変伝達関数演算手段８で演算した離散時刻の周期的時変伝達関数、Ｘ1 （Ω），Ｘ2 （Ω），…，ＸP （Ω）の周波数を固定し、それらを表示することが可能である。
【００５３】雑音解析装置では、指定された雑音源の電力スペクトル密度の平方根、例えばコンダクタンスＧの熱雑音の場合、（４ｋＴＧ）1/2 をＸm （Ω），ｍ＝１，２…，Ｐに掛けたもの、あるいはその電力を表示する。
【００５４】図１５は、横軸に時間を取り、トランジスタのベース抵抗ＲＢの熱雑音の出力雑音の周波数を固定し、その１周期の時間変化を表示したものである。このように統計的性質が周期的に変化する雑音を周期定常確率過程の雑音と呼ぶ。定常確率過程の雑音は周期的時変伝達関数を通過することにより、その出力雑音は周期定常確率過程となる。本実施形態による雑音解析装置では、周期的定常確率過程の雑音を演算し、表示することが可能である。図１５の結果は時間領域の周期的定常確率過程の雑音であり、（５）式に基づいて演算した雑音は周波数領域の雑音である。
【００５５】また、ダイオードのショット雑音のように雑音源の電力スペクトル密度が１周期の間で変化するもの（雑音源が周期的定常確率の場合）の出力雑音は以下の文献［７］、［８］の手法を用いて演算する。
【００５６】文献［７］：奥村万規子，谷本洋，菅原勉，“二つの入力信号を持つ非線形回路の計算機による雑音解析，”電子情報通信学界論文誌Ａ，ｖｏｌ．Ｊ７３−Ａ，Ｎｏ．８，１９９０年８月．
文献［８］：Makiko Okumura,Hiroshi Tanimoto,Tetsuro Itakura,and Tsutomu Sugawara, “Numerical Noise Analysis for Nonlinear Circuits with a Periodic Large Signal Excitation including Cyclostationary Noise Sources,”IEEE Transactions on Circuits and Systems,I:Fundamental Theory and Applications,vol.40,No.9,CAS-I,Sept.1993.雑音源が周期定常確率過程の場合の時間領域の雑音の表示としては、【００５７】
【数６】

【００５８】
【発明の効果】以上説明したように、本発明では、周期的定常解の計算の初めの１ポイントめから２次以上の数値積分を用いることにより、高精度に、また、数値積分刻みを細かく取る必要がなく、短時間で周期的定常解を演算することが可能となる。
【００５９】また、発振器や周期的非線形回路の雑音を演算する装置において、損失のない数値積分法を用いることで、精度よく雑音をシミュレーションすることが可能となる。また、時間域の周波数特性、あるいは、雑音特性を表示することは、回路設計者に有用な情報を与えることとなる。
【出願人】 【識別番号】０００００３０７８
【氏名又は名称】株式会社東芝
【出願日】 平成９年（１９９７）６月３０日
【代理人】 【弁理士】
【氏名又は名称】鈴江 武彦 （外６名）
【公開番号】 特開平１１−２３６３２
【公開日】 平成１１年（１９９９）１月２９日
【出願番号】 特願平９−１７４６８０